Question

如图，AD是△ABC的角平分线，AD=AC，BE⊥AD于E
（1）求证：AB-AC=2DE；
（2）求证：AB+AC=2AE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）延长AE至点F使得DE=EF，BD=BF，即可求得∠F=∠BDF=∠ADC=∠C，根据三角形内角和定理可求得∠ABF=∠C=∠F，可得AB=AF，即可解题；
（2）根据AE=AD+DE，AE=AF-EF和DE=DF即可求得2AE=AD+AF，再根据（1）中求得AB=AF即可解题．

解答：证明：（1）延长AE至点F使得DE=EF，

∵DE=EF，BE⊥DE，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC=∠BDC，
∴∠F=∠BDF=∠ADC=∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∠BAD+∠F+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠C=∠F，
∴AB=AF，
∴AB-AC=AF-AD=DF=2DE；
（2）∵AE=AD+DE，AE=AF-EF，DE=EF，
∴2AE=AD+DE+AF-EF=AD+AF，
∵AF=AB，AC=AD，
∴2AE=AC+AB．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和腰长相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求得∠F=∠ABF是解题的关键．