Question

16．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{5}$≈2.24）

Answer 1

分析 假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

解答 解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD•sin60°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$米，CE=CD•cos60°=12×$\frac{1}{2}$=6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6$\sqrt{3}$米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′=$\frac{D′E′}{tan39°}$≈$\frac{6\sqrt{3}}{0.81}$≈12.8，
∴EE′=CE′-CE=12.8-6=6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．