Question

13．已知Rt△DEF按如图所示的位置放置，∠E=90°，∠EDF=30°，DE=6$\sqrt{3}$，点H为线段FD延长线上一动点，现将△DEH绕点D顺时针旋转60°得到△DAK，E的对应点是A，H的对应点是K，若△EHK的面积为4$\sqrt{3}$，则DH的值为2．

Answer 1

分析 将△DEH绕点D顺时针旋转60°得到△DAK，得到△KDH是等边三角形，求得∠EDK=180°-∠EDF-∠KDH=90°，作HG⊥ED于G，设DH=x，根据直角三角形的性质得到HG=$\frac{1}{2}$x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．

解答 解：∵将△DEH绕点D顺时针旋转60°得到△DAK，
∴△KDH是等边三角形，
∵∠EDK=180°-∠EDF-∠KDH=90°，
作HG⊥ED于G，
∴∠HDG=30°，
设DH=x，
∴HG=$\frac{1}{2}$x，
∵S_△EDH=$\frac{1}{2}$DE•HG=$\frac{1}{2}$DE•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$DE•x，S_△EDK=$\frac{1}{2}$DE•DK=$\frac{1}{2}$DE•x，S_△DKH=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∴S_△EKH=S_△EDK+S_△DKH+D_△EDH=$\frac{1}{2}$DE•x++$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{1}{4}$DE•x=3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x=4$\sqrt{3}$，
∴x=2，
∴DH=x=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．