题目内容
9．（1）如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E．AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，求证：△AMN的周长=BC；（2）如图1所示，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E．AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，试判断△AMN的形状，并证明你的结论．
（3）如图2所示，在△ABC中，若∠C=45°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，若AC=3$\sqrt{2}$，BC=9，求MN的长．
分析 （1）由直线EM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长；
（2）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又由AB的垂直平分线EM交BC于M，得出∠BAM=30°，即可得出∠AMN=60°，同理：∠ANM=60°，即可得出结论；
（3）先利用NF是AC垂直平分线计算出CN，进而得出AN，进而得出BM=6-MN，最后用勾股定理即可得出结论．
解答 解：（1）∵直线ME为线段AB的垂直平分线（已知），
∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），
∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），
（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点M，
∴AM=BM，
∴∠BAM=∠ABM=30°，
∴∠AMN=∠ABM+∠BAM=60°，
同理：∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形；
（3）∵NF是AC的垂直平分线，
∴∠ANC=2∠CNF，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，AN=CN，
在Rt△CFN中，∠C=45°，
∴∠CNF=∠C=45°，CN=$\sqrt{2}$CF=3，
∴∠ANC=90°，AN=3，
∵BC=9，
∴BN=BC-CN=6=BM+MN，
∴BM=6-MN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM=BM=6-MN，
在Rt△AMN中，根据勾股定理得，（6-MN）2-MN2=9，
∴MN=$\frac{9}{4}$．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了垂直平分线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（2）的关键是利用三角形的外角得出∠AMN=60°，解（3）的关键是得出BM=6-MN，是一道基础题目．
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