Question

19．已知二次函数y=x²-（3m-1）x+2m²-2m，其中m＞-1．
（1）若二次函数关于x轴对称，则m的值为$\frac{1}{3}$；
（2）二次函数与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且-1≤$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{3}$x₂≤1，试求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，二次函数的最小值是-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数关于x轴对称，则b=0即可解题；
（2）根据二次函数求根公式可以求得x₁和x₂的值（用m表示），即可解题；
（3）分类讨论，①对称轴在x=1左侧，②对称轴在x=3右侧，③对称轴在x=1和x=3中间，即可求得m的值，即可解题．

解答 解：（1）二次函数关于x轴对称，则3m-1=0，解得：m=$\frac{1}{3}$；
故答案为 $\frac{1}{3}$；
（2）y=x²-（3m-1）x+2m²-2m=0时，
△=（3m-1）²-4（2m²-2m）=（m-1）²，
∴x₁=$\frac{（3m-1）-\sqrt{{（m+1）}^{2}}}{2}$=m-1，x₂=$\frac{（3m-1）+\sqrt{{（m+1）}^{2}}}{2}$=2m，
∵-1≤$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{3}$x₂≤1，
∴-1≤$\frac{m-1}{2}$-$\frac{2m}{3}$≤1，
整理得：-9≤m≤3，
∵m＞-1，
∴-1＜m≤3；
（3）①当对称轴x=$\frac{3m-1}{2}$≤1时，x=1，二次函数有最小值，此时-1＜m≤1，
代入x=1得：1-（3m-1）+2m²-2m=-1，
化简得：2m²-5m+3=0，
解得：m=1，或m=$\frac{3}{2}$（舍去）；
②当对称轴x=$\frac{3m-1}{2}$≥3时，x=3，二次函数有最小值，此时m≥$\frac{7}{3}$，
代入x=3得：9-3（3m-1）+2m²-2m=-1，
化简得：2m²-11m+13=0，
解得：m=$\frac{11+\sqrt{17}}{4}$，或m=$\frac{11-\sqrt{17}}{4}$（舍去）；
③当对称轴1＜x=$\frac{3m-1}{2}$＜3时，x=$\frac{3m-1}{2}$时，二次函数有最小值，此时1＜m＜$\frac{7}{3}$，
代入x=$\frac{3m-1}{2}$得：$\frac{{（3m-1）}^{2}}{4}$-$\frac{{（3m-1）}^{2}}{2}$+2m²-2m=-1，
化简得：m²+2m-3=0，
解得：m=1或m=-3，（均舍去）
综上所述，m的值为：$\frac{11+\sqrt{17}}{4}$或1．

点评 本题考查了二次函数的求根公式，考查了二次函数的最小值问题，本题中运用分类讨论思想是解题的关键．