Question

14．为改善洛阳的公共交通状况，洛阳市开始建设地铁系统，如图为某地地铁出站口的示意图，为提高某一段台阶的安全性，决定进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在平面为水平面）．（结果精确到0.1m，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=45°、AB=5知AB=AC=ABsin∠ABC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，根据∠ADC=30°知AD=2AC=5$\sqrt{2}$，即可得出答案；
（2）由（1）中AB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，根据CD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，由BD=CD-BC可得答案．

解答 解：（1）∵∠ABC=45°，AB=5，
∴AB=AC=ABsin∠ABC=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADC=30°，
∴AD=2AC=5$\sqrt{2}$，
则AD-AB=5$\sqrt{2}$-5≈2.1（m），
答：改善后的台阶坡面会加长2.1m；

（2）由（1）知，AB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADC=30°，
∴CD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
则BD=CD-BC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\sqrt{3}$-1）≈2.6（m），
答：改善后的台阶多占2.6m长的一段水平地面．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义表示出所需线段的长度是解题的关键．