Question

6．已知抛物线y=-x²+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先令x=0求出y的值即可得出A点坐标，再令y=0求出x的值即可得出BC两点的坐标；
（2）①分△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA两种情况进行讨论；
②过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，设Q（x，4），则P（x，-x²+3x+4），PQ=x²-3x=PM，再由△AEM∽△MFP求出PF的表达式，在Rt△AOM中根据勾股定理求出x的值，进而可得出P点坐标；
③根据在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，而又点P位于抛物线的对称轴的右侧，则a＞$\frac{3}{2}$，由点P在抛物线上即可建立m与n的关系．

解答 解：（1）∵令x=0，则y=4，
∴A（0，4）；
∵令y=0，则-x²+3x+4=0，解得x₁=4，x₂=-1，
∴B（4，0），C（-1，0）；

（2）①∵以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，
∴△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA，
∴$\frac{AQ}{QP}=\frac{AO}{CO}$或$\frac{AQ}{QP}=\frac{CO}{AO}$，
即$\frac{x}{{x}^{2}-3x}=\frac{4}{1}$或$\frac{x}{{x}^{2}-3x}=\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{13}{4}$或x=7，均在对称轴的右侧，
∴P（$\frac{13}{4}$，$\frac{51}{16}$）或（7，-24）；
②如图所示，过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，
设Q（x，4），则P（x，-x²+3x+4），PQ=x²-3x=PM，
∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，
∴∠FMP=∠EAM．
∵∠MFP=∠AEM=90°，
∴△AEM∽△MFP，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{MP}{PF}$．
∵MP=x²-3x，
∴$\frac{x}{4}=\frac{{x}^{2}-3x}{PF}$，
∴PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
在Rt△AOM中，
∵OM²+OA²=AM²，即（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5均在抛物线对称轴的右侧，
∴P（4，0）或（5，-6）．
③∵抛物线y=-x²+3x+4和A（0，4），
∴抛物线和直线l的交点坐标为A（0，4），（3，4），
设P（a，-a²+3a+4）；∵A（0，4），
∴把y=4代入y=-x²+3x+4中，得，x=0或x=3，
∴a＞3
∵AP的中点是R，A（0，4），
∴$\frac{a}{2}$=m，$\frac{-{a}^{2}+3a+4+4}{2}$=n，
∴n=-2m²+3m+4，
∵a＞3，
∴2m＞3，
∴m＞$\frac{3}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，在解答（2）时要分△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA两种情况进行讨论．