Question

10．如图，△OAB与△OCD都是等边三角形，连接AC、BD相交于点E．
（1）求证：①△OAC≌△OBD，②∠AEB=60°；
（2）连结OE，OE是否平分∠AED？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据SAS即可判定．②由△OAC≌OBD，推出∠OAE=∠OBD，由△OAB是等边三角形，推出∠OAB+∠OBA=120°，推出∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，即∠EAB+∠EBA=120°，推出∠AEB=60°．
（2）OE平分∠AED．作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．由△OAC≌△OBD，推出S_△OAC=S_△OBD，推出$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•BD•ON，推出OM=ON，再根据角平分线判定定理即可证明．

解答 （1）证明：①∵△OAB与△OCD都是等边三角形，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
∴△OAC≌△OBD．

②∵△OAC≌OBD，
∴∠OAE=∠OBD，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，
即∠EAB+∠EBA=120°，
∴∠AEB=60°．
                           
（2）解：OE平分∠AED．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．
∵△OAC≌△OBD，
∴S_△OAC=S_△OBD，
∴$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•BD•ON，
∴OM=ON，
∴OE平分∠AED．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，学会利用面积法证明线段相等，属于中考常考题型．