Question

已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，-3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．
（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）如图，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．
①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；
②当t＞4时，设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E，问：是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）设PN与x轴交于点D，先由矩形的性质得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根据相似三角形对应边成比例得

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，求得OD、PD，即可确定P点的坐标；
（2）①分三种情况进行讨论：（i）当0＜t≤

5

2

时时，设PQ与y轴交于点E，则S=S_矩形ODPE=OD•PD；（ii）当

5

2

＜t≤

10

3

时时，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S_矩形PQFD=PQ•PD；（iii）当

10

3

＜t＜4时，S=S_{正方形PQMN}；
②分三种情况进行讨论：（i）当4＜t≤5时，根据三角形外角的性质得出∠DPE＜∠DBE=90°，则△PDE不可能为直角三角形；（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；（iii）当t＞5时，由于∠DPE＜∠DBE=90°，则当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）设PN与x轴交于点D，如图1．
∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB=5．
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OBA，
∴

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，
∴

OD

4

=

PD

3

=

t

5

，
∴OD=

4

5

t，PD=

3t

5

，
∴P点的坐标为P（

4

5

t，-

3

5

t）；

（2）①当0＜t≤

5

2

时，S=

4

5

t×

3

5

t=

12

25

t²，
当

5

2

＜t≤

10

3

时，S=2×

3

5

t=

6

5

t，
当

10

3

＜t＜4时，S=4；

②当QM运动到AB位置时，恰好无公共部分，

4

5

t＜4+2，即t＜

15

2

．
（ⅰ）当4＜t＜5时，∠DPE＞∠DBE=90°，△PDE不可能为直角三角形，
（ⅱ）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时△PFE是直角三角形，
（ⅲ）当5＜t＜

15

2

时，∠DPE＜90°，还有两种可能，∠PDE=90°或∠PED=90°．
若∠PDE=90°，则

PQ

QD

=

DM

ME

，可得

2

3 5 t-3

=

5- 3 5 t

6- 4 5 t

，
整理得9t²-160t+675=0，
解得t=

80±5 13

9

，应取t=

80-5 13

9

，
若∠PED=90°，则

PN

NE

=

EM

MD

，
可得

2

4 5 t-4

=

6- 4 5 t

5- 3 5 t

，
整理得8t²-115t+425=0，
注意到△＜0，该方程无实数解
综上所述，符合条件的t的值有两个，t=5或t=

80-5 13

9

．

点评：本题是关于动点问题的相似形综合题，其中涉及到矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，图形的面积等知识，综合性较强，难度较大．在解决动点问题时，采用数形结合及分类讨论的数学思想，能使问题形象直观，从而有助于解题．