Question

11．关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）给出下列说法：①若a+c=0，则方程必有两个实数根；②若a+b+c=0，则方程必有两个实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不等的实数根；④若b²-5ac＜0，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 利用c=-a可判断△=b²+4a²＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b²-4ac=（2a+b）²≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）²+5c²＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b²-5ac＜0，不能判断△=b²-4ac=b²-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．

解答 解：当a+c=0，即c=-a，则△=b²-4ac=b²+4a²＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；
当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b²-4ac=b²+4a（a+b）=（2a+b）²≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；
当b=2a+3c，则△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；
当b²-5ac＜0，△=b²-4ac=b²-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．
故选A．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．