Question

2．如图所示，梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，CD=a，AB=b（a＜b），对角线AC，BD交于点O，△BOC面积为$\frac{1}{5}$S，则$\frac{a}{b}$=（　　）

• A． $\frac{3-\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{3}$

Answer 1

分析 设S_△COD的面积为S₁，S_△AOB的面积为S₂，由题中条件建立关于S₁•S₂的方程，解方程得出S₁•S₂之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．

解答 解：设S_△COD的面积为S₁，S_△AOB的面积为S₂，由S_ABCD=S，
∵AB∥CD，
∴S_△ABD=S_△ABC，
∴S_△ABD-S_△AOB=S_△ABC-S_△AOB，
∴S_△AOD=S_△BOC=$\frac{1}{5}$S，得S₁+S₂=S-2×$\frac{1}{5}$S=$\frac{3}{5}$S，①
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△BOC}}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{2}}$，
∴S₁•S₂=S_△BOC•S_△AOD=$\frac{1}{25}$S²，②
联立①、②$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}{+S}_{2}=\frac{3}{5}S}\\{{S}_{1}{•S}_{2}=\frac{1}{25}{S}^{2}}\end{array}\right.$，
∵△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，③
∵a＜b，∴S₁＜S₂，解方程组得S₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$S，S₂=$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$S，
代入③得$\frac{a}{b}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式是解答此题的关键．