Question

在△ABC中，CB=CA，∠BCA=90°，D为BA任意一点，求证：BD²+AD²=2CD²．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：作出图形，过点D作DE⊥BC于E，作DF⊥AC于F，判断出△BDE和△ADF都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得DE=

2

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BD，DF=

2

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AD，再判断出四边形DECF是矩形，根据矩形的对边相等可得DE=CF，然后利用勾股定理列式整理即可得证．

解答：证明：如图，过点D作DE⊥BC于E，作DF⊥AC于F，
∵CB=CA，∠BCA=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴△BDE和△ADF都是等腰直角三角形，
∴DE=

2

2

BD，DF=

2

2

AD，
又∵∠BCA=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=CF，
在Rt△CDF中，DF²+CF²=CD²，
∴（

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AD）²+（

2

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BD）²=CD²，
∴BD²+AD²=2CD²．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和矩形是解题的关键．