如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC的顶点O与坐标原点重合.点C的坐标为(0.3).点A在x轴的负半轴上.点D.M分别在边AB.OA上.且AD=2DB.AM=2MO.一次函数y=kx+b的图象过点D和M.反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点D.与BC的交点为N．(1)求反比例函数和一次函数的表达式,(2)若点P在直线DM上.且使△OPM的面积与四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

分析（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．

解答解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
∵AD=2DB，
∴AD=$\frac{2}{3}$AB=2，
∴D（-3，2），
把D坐标代入y=$\frac{m}{x}$得：m=-6，
∴反比例解析式为y=-$\frac{6}{x}$，
∵AM=2MO，
∴MO=$\frac{1}{3}$OA=1，即M（-1，0），
把M与D坐标代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=b=-1，
则直线DM解析式为y=-x-1；
（2）把y=3代入y=-$\frac{6}{x}$得：x=-2，
∴N（-2，3），即NC=2，
设P（x，y），
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$（OM+NC）•OC=$\frac{1}{2}$OM|y|，即|y|=9，
解得：y=±9，
当y=9时，x=-10，当y=-9时，x=8，
则P坐标为（-10，9）或（8，-9）．

点评此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

练习册系列答案

选修课	A	B	C	D	E	F
人数	40	60		100

	A．	这次被调查的学生人数为400人
	B．	扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
	C．	被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70
	D．	喜欢选修课C的人数最少

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