Question

【题目】已知直线y＝kx+m（k＜0）与抛物线y＝x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q．

（1）若点P（2，﹣c），Q的横坐标为﹣1．求点Q的坐标；

（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴相交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若PE＝2EQ，c＝（﹣≤b＜﹣2），求点Q的纵坐标；

（3）在（2）的条件下，求△OMQ的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）点Q坐标为（﹣1，7）；（2）点Q（﹣﹣2，﹣1）；（3）S≥．

【解析】

（1）根据抛物线顶点公式以及顶点P横坐标得出=2，求出b的值，再将点P（2，﹣c）代入y＝x2+bx+c中解得c的值，从而得出抛物线解析式再代入求出Q坐标即可

（2）根据题意画出图像，很容易得出△MON∽△PEQ，所以＝2，再设直线PQ为y＝﹣2x+b′，将点P的坐标代入求解之后进一步得出答案即可

（3）根据直线PQ表达式y＝﹣2x﹣2﹣b，得出点M（0，﹣2﹣b），再利用S＝×OM×|xQ|＝（﹣2﹣b）（+2）之后进行因式分解得出最大值即可

解：（1）由题意：﹣＝2，

∴b＝﹣4，∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，将P（2，﹣c）代入得到，﹣c＝4﹣8+c，

∴c＝2，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2，

∵点Q横坐标为﹣1，

∴点Q坐标为（﹣1，7）；

（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，则顶点P（﹣b，﹣2），

则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+…①，

如图，∵PE∥y轴，QE∥x轴，

∴△MON∽△PEQ，

∴＝2，

∴设直线PQ为y＝﹣2x+b′，

将点P的坐标代入上式并解得：

b′＝﹣2﹣b，

则直线PQ表达式为：y＝﹣2x﹣2﹣b…②，

联立①②并解得：x＝﹣或﹣﹣2，

则点Q（﹣﹣2，﹣1）；

（3）直线PQ表达式为：y＝﹣2x﹣2﹣b，则点M（0，﹣2﹣b），

∵﹣≤b＜﹣2，∴﹣﹣2＜0，

故S＝×OM×|xQ|＝（﹣2﹣b）（+2）＝﹣（b+3）2﹣，

∵﹣≤b＜﹣2，∴x＝﹣时，取得最大值，此时，S＝，

故S≥．