Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两实数根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

考点：根与系数的关系,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：代数几何综合题

分析：（1）利用（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两实数根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，
解得：m=-4或m=6；
当m=-4时原方程无解，
∴m=6；

（2）①当7为底边时，此时方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+1）²-4（m²+5）=0，
解得：m=2，
∴方程变为x²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
②当7为腰时，设x₁=7，
代入方程得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=10或4，
当m=10时方程变为x²-22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时方程变为x²-10x+21=0，
解得：x=3或7，
此时三角形的周长为7+7+3=17．

点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．