Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE∥FC，EF∥DC
（1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；
（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）求出四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CD，再根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，CF⊥AB，BF=DF=CD，然后等量代换即可得证；
（2）根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠B=∠ACD=60°，三条边都相等可得BC=AC，然后利用“边角边”证明△BCF和△ACD全等，根全等三角形对应边相等可得CF=AD，全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠BCF，再根据平行四边形的性质可得CF=DE，∠BCF=∠BDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADE=∠ACB=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．

解答：（1）证明：∵DE∥FC，EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD，
∵D，F分别是BC，AB的中点，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，BF=CD=

1

2

AB，
又∵FD=BF=

1

2

AB，
∴FD=CD，
∴EF=FD；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，BC=AC，
在△BCF和△ACD中，

BC=AC ∠B=∠ACD BF=CD

，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴CF=AD，∠CAD=∠BCF，
∵∵DE∥FC，EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CF=DE，
∵DE∥FC，
∴∠BCF=∠BDE，
由三角形的外角性质得，∠CAD+∠ACB=∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE=∠ACB=60°，
∴△AED是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质与判定方法并准确识图是解题的关键．