Question

5．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求CD的长．
（3）试探究AB，AF，DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，由相似三角形的性质可知：$\frac{EO}{EA}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{EC}{ED}$，设⊙O的半径为r，则OE=10-r，进而得出r的长，然后可求得EC的长，从而得到CD的长；
（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，进而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可．

解答 （1）证明：如图1所示：连接OC．

∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED．
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD．
∴∠OCA=∠CAD．
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD．
∴$\widehat{BC}=\widehat{CF}$．
∴BC=CF．
（2）解：如图1所示：
∵在Rt△ADE中，AD=6，DE=8，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10．
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD．
∴$\frac{EO}{EA}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{EC}{ED}$．
设⊙O的半径为r，则OE=10-r，
∴$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$．
∴r=$\frac{15}{4}$．
∴$\frac{\frac{15}{4}}{6}=\frac{EC}{8}$．
∴EC=5．
∴CD=3．
（3）AF+2DF=AB．
理由：过C作CG⊥AB于G，连接OC．

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，
∴CG=CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）．
∴AG=AD，
在Rt△CGB和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=FC}\\{CG=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），
∴GB=DF．
∵AG+GB=AB，
∴AD+DF=AB．
∴AF+DF+DF=AB．
∴AF+2DF=AB．

点评 此题主要考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，得出GB=DF是解题关键．