Question

17．已知：?ABCD过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点．求证：ET=ED．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质可知；AB∥DC，AD∥BC，从而得到$\frac{DE}{EG}=\frac{CE}{AE}$，$\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{EC}$，于是得到$\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{ED}$，从而得到DE²=EF•EG，由切割线定理可知ET²=EF•EG，故此ET=ED．

解答 证明：∵ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC．
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{CE}{AE}$，$\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{EC}$．
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{ED}$．
∴DE²=EF•EG．
又∵ET是圆的切线，
∴ET²=EF•EG．
∴DE=EG．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及圆切线的性质，证得DE²=EF•EG是解题的关键．