Question

20．如图，矩形纸片ABCD，AB=$\sqrt{3}$，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．
（1）求证：∠ABM=30°；
（2）求证：△BMG是等边三角形；
（3）若P为线段BM上一动点，求PN+PG的最小值．

Answer 1

分析 （1）由对折，判断出BN垂直平分MG，通过计算即可；
（2）由（1）∠ABM=∠NBM=GBN=30°，得出∠MBG=60°，即可；
（3）先计算出BG=BM=2，再判断出点N与点A关于直线BM对称，得到PN+PG的最小值为AG，计算即可．

解答 证明：（1）∵对折AD与BC重合，
∴点E是AB的中点，
∴点N是MG的中点，
∵∠BNM=∠A=90°，
∴BN垂直平分MG，
∴BM=BG，
∴∠GBN=∠MBN，
由翻折的性质，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=∠GBN=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∴∠MBG=60°；
（2）由（1）知，∠ABM=∠NBM=GBN=30°，
∴∠MBG=60°，
∵BM=BG，
∴△BMG为等边三角形，
（3）如图，

连接PN，PA，PG，
∵AB=$\sqrt{3}$，∠ABM=30°，
∴BM=2，
∴BG=BM=2，
∴由折叠的性质知，点N与点A关于直线BM对称，
∴PN=PA，
∴PN+PG的最小值为AG，
∵AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴PN+PG的最小值为$\sqrt{7}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了对折的性质，等边三角形的判定，勾股定理，解本题的关键是计算出相关的角．