Question

19．如图，⊙O直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过C点的切线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）已知⊙O的半径r=$\sqrt{6}$，求图中阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）求出∠ACO=∠A=30°，根据三角形外角性质求出∠COB=60°，求出∠P，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出PC，求出△OCP和扇形COB的面积，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∴∠A=∠P，
∴AC=PC；

（2）解：在Rt△OCP中，CP=OC×tan60°=$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$，
所以图中阴影部分的面积是：
S=S_△OCP-S_扇形COB
=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{6}$-$\frac{60π×（\sqrt{6}）^{2}}{360}$
=3$\sqrt{3}$-π．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，解直角三角形，扇形的面积的应用，能熟记知识点是解此题的关键．