Question

15．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．
（1）矩形OABC的周长为16；
（2）若A点坐标为（5，0），求线段AD所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据折叠和矩形的性质得出AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC，根据已知得出CE+CD+DE+AB+BE+AE=16，推出CE+BE+AB+OA+OD+CD=16即可．
（2）根据勾股定理求出BE，求出CE，再利用勾股定理求得D 的坐标，待定系数法求出直线AD的解析式即可．

解答 解：（1）∵以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，四边形OABC是矩形，
∴AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC，
∵△ECD的周长为4，△EBA的周长为12，
∴CE+CD+DE+AB+BE+AE=4+12=16，
∴CE+BE+AB+OA+OD+CD=16，
即矩形OABC的周长为16，
故答案为：16．

（2）∵矩形OABC的周长为16，
∴2OA+2OC=16，
∵A点坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴OC=3，
∵在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，AE=OA=5，由勾股定理得：BE=4，
∴CE=5-4=1，
∴设DE=OD=x，则CD=3-x，
∴CD²+CE²=DE²，即（3-x）²+1²=x²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴D（0，$\frac{5}{3}$），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（5，0），E（0，$\frac{5}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$．
∴线段AD所在直线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到勾股定理，矩形的性质，折叠的性质的应用，难度适中．