Question

6．已知关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（3）当Rt△ABC的斜边长c=$\sqrt{3}$，且两条直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，列出k的不等式，求出k的取值范围；
（2）把x=3代入方程，求出k的值，进而解方程，求出另一个根；
（3）根据题意可得a²+b²=（$\sqrt{3}$）²，再根据根与系数关系得到a+b=2，ab=k-1，进而得到k的方程，求出k的值，即可求出Rt△ABC的面积．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0，方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=4-4（k-1）＞0，
∴k＜2；
（2）∵x=3是此方程的一个根，
∴把x=3代入原方程得：9-6+k-1=0，解得k=-2，
∴原方程为x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴方程另一个根是-1，k=-2；
（3）∵Rt△ABC的斜边长c=$\sqrt{3}$，且两条直角边a和b恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，ab=k-1，
∵a²+b²=（$\sqrt{3}$）²，
∴（a+b）²-2ab=a²+b²=3，
∴2²-2（k-1）=3，解得k=$\frac{3}{2}$，
∴ab=k-1=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、根与系数的关系以及勾股定理的知识，解答本题的关键是求出k的取值范围，此题难度一般．