Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴于点C，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）若b=-2，求双曲线的解析式；
（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的图象上求出k的值；
（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-$\frac{b}{2}$，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．

解答 解：（1）当b=-2时，
直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的图象上，
∴k=2×2=4．

（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-$\frac{b}{2}$，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（-b，-b）．
∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的图象上，
∴k=（-b）•（-b）=b²．
即k与b的数量关系为：k=b²．
直线OD的解析式为：y=x．

点评 本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题．