Question

17．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，则称该四边形为“筝形”．连接对角线AC、BD，交于点O．
（1）写出关于筝形对角线的一个性质BD⊥AC，且AC平分BD，并说明理由；
（2）给出下列四个条件：①OA=OC，②AC⊥BD，③∠ABD=∠CBD，④AB∥CD．从中选择一个条件①（填序号），使该筝形为菱形，并证明之．

Answer 1

分析 （1）证明△ABC≌△ADC，即可证得BD⊥AC，且AC平分BD；
（2）答案不唯一，选择①，根据“四条边相等的四边形为菱形”进行证明．

解答 解：（1）BD⊥AC，且AC平分BD．
理由如下：在△ABC与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC．
又∵AB=AD，
∴AC⊥BD，OB=OD；
故答案是：BD⊥AC，且AC平分BD；

（2）选择①，理由如下：
∵BD⊥AC，OA=OC，
∴BC=AB．
又∵AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案是：①．

点评 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质．四条边都相等的四边形是菱形．