题目内容
9．如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（A→B方向）平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当D1与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并说明理由．
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的$\frac{3}{8}$？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据AD1=BD2就可以证明AD2=BD1，根据等角对等边证明AD2=D2F，D1E=D1B即可．
（2）由于△AC1D1与△BC2D2重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P，再求各三角形的面积即可．
（3）先假设存在x的值使得y=$\frac{3}{8}$S△ABC，再求出△ABC的面积，然后根据（2）所求y=-$\frac{18}{25}$x2+$\frac{24}{5}$x（0≤x≤5）建立等量关系，通过根的判别式来判定是否有这样的x值存在．
解答 解：（1）D1E=D2F．理由如下：
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A
∴AD2=D2F．
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．
∴C2F=C1E=x
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为 $\frac{24}{5}$．
设△BED1的BD1边上的高为h，
由探究，得△BC2D2∽△BED1，
∴$\frac{h}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$．
∴h=$\frac{24（5-x）}{25}$．S△BED1=$\frac{1}{2}$×BD1×h=$\frac{12}{25}$（5-x）2
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90度．
又∵∠C2=∠B，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
∴PC2=$\frac{3}{5}$x，PF=$\frac{4}{5}$x，S△FC2P=$\frac{1}{2}$PC2×PF=$\frac{6}{25}$x2
而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=$\frac{1}{2}$S△ABC-$\frac{12}{25}$（5-x）2-$\frac{6}{25}$x2
∴y=-$\frac{18}{25}$x2+$\frac{24}{5}$x（0≤x≤5）．
（3）不存在．
当y=$\frac{3}{8}$S△ABC时，即-$\frac{18}{25}$x2+$\frac{24}{5}$x=9，
整理得6x2-40x+75=0．
∵△=1600-4×6×75=-200＜0，
∴该方程无解，即对于（2）中的结论不存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的$\frac{3}{8}$．
点评 本题综合性强，考查图形的平移、二次函数解析式的确定以及综合问题、分析问题、解决问题的能力，考查较全面．同时本题是一道操作性问题，而且是动态问题，第1小题不难解决，第2小题的一大难点是如何求阴影部分的面积，要注意领会这种整体补形法．
孟建平小学滚动测试系列答案
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．
如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，则称该四边形为“筝形”．连接对角线AC、BD，交于点O．
已知?ABCD中，AC是对角线，BE平分∠ABC交AC于点E，DF平分∠ADC交AC于点F，求证：AE=CF．
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．点D、E分别是边BC、AC的中点，DE的联线与BC的平行线AF交于点F．