Question

14．若x²-3x+1=0，试求下列各式的值
（1）x-$\frac{1}{x}$；
（2）$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}-{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）移项后两边同时除以x即可得x+$\frac{1}{x}$=3，再将其代入（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4求得代数式的值，最后开方即可；
（2）根据x+$\frac{1}{x}$=3可得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，将其代入$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}-{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}-1+\frac{1}{{x}^{2}}}$即可得答案．

解答 解：（1）∵x²-3x+1=0
∴x²+1=3x，
两边同时覅除以x得：x+$\frac{1}{x}$=3，
则（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=9-4=5，
∴x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{5}$；

（2）∵x+$\frac{1}{x}$=3，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=9，即x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，
则$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}-{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}-1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{7-1}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查代数式的求值能力，熟练掌握等式的基本性质和整体代入思想的应用是解题的关键．