Question

2．设AD、BC是圆O的互相垂直的直径，E和F分别在劣弧$\widehat{AB}$，$\widehat{CA}$上，若$\widehat{AE}$和$\widehat{AF}$相等，直线DA和直线BE的交点为G，直线FA和直线DB的交点为H，求证：∠HGA是直角．

Answer 1

分析 连接AC、AE、CF、DE，由AD、BC是圆O的互相垂直的直径，得出AB=AC，AB⊥DE，∠CAD=∠BAD=∠BED=45°，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，得出$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，由圆周角定理得出∠BAE=∠CAF=∠BDE，由角的关系得出∠HAG=∠HBG，证出H、G、A、B四点共圆，即可得出结论．

解答 证明：连接AC、AE、CF、DE，如图所示：
∵AD、BC是圆O的互相垂直的直径，
∴AB=AC，AB⊥DE，∠CAD=∠BAD=∠BED=45°，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，
∴∠BAE=∠CAF=∠BDE，
∵∠HAG=∠DAF=∠CAD+∠CAF=45°+∠CAF，∠HBG=∠BED+∠BDE=45°+∠BDE，
∴∠HAG=∠HBG，
∴H、G、A、B四点共圆，
∴∠HGA=∠HBA=90°．

点评 本题考查了圆周角定理、四点共圆等知识；熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解决问题的关键．