Question

5．已知：如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，P为形内一点，∠BPC=120°，若BP=3，则△PAB的面积为（　　）

• A． 9
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图，作△BPC的外接圆⊙O，交AC的延长线于D，连接BD、PD．利用切线的性质和圆内接四边形的内对角互补得到∠BDA=180°-∠BPC=60°，所以∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=90°，即AB是⊙O的切线．设∠ABP=∠BDP=α．通过解直角△ABD、△BPD求得AB、AP的长度，然后由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC进行计算即可．

解答 解：如图，作△BPC的外接圆⊙O，交AC的延长线于D，连接BD、PD．

∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径．
∵四边形BDCP是圆内接四边形，
∴∠BDA=180°-∠BPC=60°，
∴∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=180°-30°-60°=90°，则AB是⊙O的切线．
设∠ABP=∠BDP=α．
在直角△ABD中，AB=BD•tan∠BDA=$\sqrt{3}$BD，
在直角△BPD中，BP=BD•sin∠BDP=BDsinα=3，
则△PAB的面积是：$\frac{1}{2}$AB•BPsin∠ABP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$BD×3sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了圆的综合题．其中涉及到了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形以及三角形的面积计算．此题的难点是作出△BPC的外接圆⊙O．