Question

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx-5a经过点（-1，0），C（0，5）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，且点D关于直线BC对称的点为E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知动点P在第一象限点C与点D之间的抛物线上，当△PDE的面积最大时，请求出△PDE的最大面积及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，5）代入y=ax²+bx-5a得a$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5a=0}\\{-5a=5}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）先求出点D坐标，求出直线BC的解析式，求出与直线BC垂直的直线的解析式，求出两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式，求出点E坐标．
（3）如图，作PM∥y轴交DE于M，设P（m，-m²+4m+5），由（2）可知直线DE的解析式为y=x+1，可得M（m，m+1），根据S_△PDE=S_△PEM+S_△PDM构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，5）代入y=ax²+bx-5a得a$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5a=0}\\{-5a=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．

（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴m+1=-m²+4m+5，
∴m²-3m-4=0，
∴m=4或-1（舍弃），
∴点D坐标（4，5），
对于抛物线y=-x²+4x+5，令y=0，-x²+4x+5=0，解得x=4或-1，
∴B（5，0），∵C（0，5），
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
∴过点D与BC垂直的直线的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=x+1与y=-x+5的交点为（2，3），
∵D、E关于点（2，3）对称，
∴点E坐标为（0，1）．

（3）如图，作PM∥y轴交DE于M，设P（m，-m²+4m+5），
由（2）可知直线DE的解析式为y=x+1，
∴M（m，m+1），
∴S_△PDE=S_△PEM+S_△PDM=$\frac{1}{2}$•PM•4=2PM=2（-m²+4m+5-m-1）=-2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△PDE的面积有最大值，最大值为$\frac{25}{2}$，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用方程组确定利用函数的交点坐标，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考压轴题．