Question

7．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，则△ABC的面积为9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，则可求得△ABC的面积．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∵BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，
设AB=x，则DC=x-4，
∴$\frac{x}{x-4}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$，
∴x=6，
∴AB=6，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABF中，AF=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质与等边三角形的性质．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．