Question

20．如图，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，A为线段DE上一点，若AB=AC，AD=CE．
（1）求证：△ADB≌△CEA；
（2）求证：AB⊥AC；
（3）若∠CBD=75°，求∠ACE的度数．

Answer 1

分析 （1）由HL证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质和互余两角的关系即可得出结果；
（3）证出BD∥CE，得出∠CBD+∠BCE=180°，求出∠BCE=180°-∠CBD=105°，由等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，
∴∠D=∠E=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL）；
（2）证明：∵△ADB≌△CEA，
∴∠ABD=∠EAC（全等三角形的对应角相等）
∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠BAC=180°-90°=90°，
∴AB⊥AC；
（3）解：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，∴BD∥CE，
∴∠CBD+∠BCE=180°，
∴∠BCE=180°-∠CBD=105°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=105°-45°=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质，属于相对比较基础的题目，比较容易掌握，但证明三角形全等时注意对应量．