Question

如图1，均匀的向一个由三个等高圆柱组合成的容器中注水（圆柱底面半径从小到大分别为acm，bcm，ccm），最后把圆柱注满，水面高度h（cm）随时间t（s）的变化规律如图2所示．
（1）这个容器的性状是图1中

 

，容器深度为

 

cm；
（2）若a=5cm，求注水速度v（单位：cm3/s）及b，c的值（π取3）；
（3）求注水全过程中容器的水深h（cm）与注水时间t（s）的函数解析式；
（4）画出图中向另两个容器注水时水面高度h随时间t变化的图象（不用列表）．

Answer 1

考点：一次函数的应用

专题：

分析：（1）由函数图象就可以得出函数图象表示的是容器③，容器的深度为30cm；
（2）先求出最小圆柱的体积，就可以求出注水速度，根据注水速度就可以都分别求出b、c的值；
（3）由求分段函数的方法当0≤t≤100，100＜t≤325，325＜t≤350时由待定系数法就可以求出结论；
（4）根据图2的数据就可以直接画出①、②的函数图象．

解答：解：（1）由函数可以直接得出：
这个容器的性状是图1中③，容器深度为30cm．
故答案为：③，30；
（2）由题意，得
小圆柱的体积为：π×25×30=750πcm³，
注水速度为：v=750π÷（350-325）=30πcm³/s．
较小圆柱的体积为：30π×100=3000πcm³，
最大圆柱的体积为：30π×125=3750πcm³，
∴b=

3000π 10π

=10

3

cm，
c=

3750π 10π

=5

15

cm．
答：注水速度v=30πcm3/s，b=10

3

cm，c=5

15

cm；
（3）当0≤t≤100时，设h与t之间的函数关系式为h₁=k₁t，由题意，得
10=100k₁，
解得：k₁=0.1，
h₁=0.1t；
当100＜t≤325时，设h与t之间的函数关系式为h₂=k₂t+b₂，由题意，得

10=100k2+b2 20=325k2+b2

，
解得：

k2= 2 25 b2=2

，
h₂=

2

25

t+2，；
当325＜t≤350时，设h与t之间的函数关系式为h₃=k₃t+b₃，由题意，得

20=325k3+b3 30=350k3+b3

，
解得：

k3=0.4 b3=-110

，
h₃=0.4t-110．
综上所述，h=

0.1t(0≤t≤100) 2 25 t+2(100＜t≤325) 0.4t-110(325＜t≤350)

；
（4）由题意，根据图2折线关系就可以得出：
①的图象
，
②的图象

点评：本题考查了圆柱的体积公式的运用，分段函数的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时结合图形和函数图象，弄清函数图象的数据含义是关键．