Question

已知菱形ABCD中，点R是CD上的一个动点，过A，R的直线交BD于O，交BC的延长线于S．
（1）若R为CD的中点，求证：AR=SR；
（2）若AD=2，∠DCB=60°，BS=6，求AS的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）若R为CD的中点，利用菱形的性质易证△ADR≌△SCR，由全等三角形的性质可得：AR=SR；
（2）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，根据菱形的性质得AB=AD=2，∠ABT=60°，所以根据含30度的直角三角形三边的关系可得到BT，AT的长，则TS=TB+BS可求出，然后根据勾股定理可计算出AS的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥CS，
∴∠ADR=∠SCR，
∵R为CD的中点，
∴DR=CR，
在△ADR和△SCR中，

∠ADR=∠SCR DR=CR ∠ARD=∠SRC

，
∴△ADR≌△SCR（ASA）；
（2）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=2，∠ABT=60°，
∴BT=

1

2

AB=1，AT=

3

BT=

3

，
∵BS=6，
∴TS=TB+BS=7，
∴AS=

3+49

=

52

=2

13

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了菱形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理的运用．