Question

2．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD=4，BD=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
（1）写出图中所有相似的三角形；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由垂线的定义得出∠ADC=∠BDC=90°，由∠ACB=∠ADC，∠A=∠A，得出△ADC∽△ACB，同理：△CDB∽△ACB，即可得出△ADC∽△ACB∽△CDB；
（2）由△ADC∽△CDB，得出对应边成比例AD：CD=CD：BD，CD²=AD•BD，即可得出结果．

解答 解：（1）△ADC∽△ACB∽△CDB；理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理：△CDB∽△ACB，
∴△ADC∽△ACB∽△CDB；
（2）∵△ADC∽△CDB，
∴AD：CD=CD：BD，
∴CD²=AD•BD=4×2=8，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．