Question

9．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=60°，得到OC⊥BD，根据平行线的性质得到OC⊥AC，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据扇形的面积公式、三角形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠CDB=60°，
∵∠OBD=30°，
∴OC⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：扇形OBC的面积=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∵OB=6，∠OBH=30°，
∴OH=3，BH=3$\sqrt{3}$，
△OBH的面积=$\frac{1}{2}$×BH×OH=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
△HCD的面积=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=6π-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$=6π．

点评 本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理、扇形的面积公式是解题的关键．