Question

7．设p正整数，且p≥2．在平面直角坐标系中．连结点A（0，p）和点B（p，0）的线段通过p-1个格点C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）．证明：
（1）若p为质数，则在原点O（0，0）与点C（i，p-i）的连线段OC_i（i=1，…，p-1）上除端点外无其他格点；
（2）若在原点O（0，0）与点C（i．p-1）的连线段OC_i，（i=1，…，p-1）上除端点外无其它格点．则p为质数．

Answer 1

分析 （1）用P（a，b）表示△OAB内的格点，a，b为正整数，假设结论不成立，则点P位于某条线段OC_i内部．如图，过点P作PE⊥OB于点E，过点C_i作C_iF⊥AB于点F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，得到i≤a，这与a＜i矛盾．得到原结论成立．
（2）假设结论不成立，即p为质数，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，因为△OAB内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到p-1之间的任何整数，故必存在一格点P（a，b）满足a+b=x，得到点P（a，b）在线段OC_i内部，即在线段OC上除端点外还有其它格点，这与已知矛盾．得到原结论成立．

解答 解：（1）用P（a，b）表示△OAB内的格点，a，b为正整数，
假设结论不成立，则点P位于某条线段OC_i内部．
如图，过点P作PE⊥OB于点E，过点C_i作C_iF⊥AB于点F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
其中1≤i≤p-1，
则1≤a≤i，1≤b≤p-i，
由$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，知（a+b）i=ap，
则i|ap，
因为p为质数，且1≤i≤p-1，
则i与p互质，
则i|a，
故i≤a，
这与a＜i矛盾．
所以，假设不成立，
所以原结论成立．

（2）假设结论不成立，即p为质数，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，
因为△OAB内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到p-1之间的任何整数，
故必存在一格点P（a，b）满足a+b=x，
则（a+b）y=xy=p，即ay+by=p，
故点（ay，by）必是C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）中的一个点，
设为C_i（i，p-i），
则有ya=i，by=p-i，
故$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
所以点P（a，b）在线段OC_i内部，即在线段OC上除端点外还有其它格点，这与已知矛盾．
故原结论成立．

点评 此题考查了质数与合数，是竞赛题型，难度较大，本题关键是通过假设法，得到矛盾的结论，从而求解．