Question

20．观察下列式子
${\;}_{3=4×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}，4=5×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}…}^{1=2×\frac{0}{1}+1，2=3×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$
（1）根据上述规律，请猜想，若n为正整数，则n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
（2）证明你猜想的结论．

Answer 1

分析 （1）根据所给的4个算式，可得：若n为正整数，则n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．
（2）用数学归纳法证明猜想的结论即可．

解答 （1）解：若n为正整数，则n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．
（2）证明：∵右边=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=$\frac{{n}^{2}-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=$\frac{{n}^{2}}{n}$
=n
=左边，
∴原等式成立．
故答案为：（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．

点评 此题主要考查了探寻规律问题，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．