Question

8．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于m-n；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：（m-n）²
方法2：（m+n）²-4mn
③观察图②，请写出代数式（m+n）²，（m-n）²，mn这三个代数式之间的等量关系：（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求（m-n）²的值．
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

Answer 1

分析 （1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n；
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；
③根据以上相同图形的面积相等可得；
（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）²=（m+n）²-4mn计算可得；
（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得．

解答 解：（1）①阴影部分的正方形边长是m-n．
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积，即（m-n）²，
方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）²-4mn；
③（m-n）²=（m+n）²-4mn．
（2））∵|m+n-6|+|mn-4|=0，
∴m+n-6=0，mn-4=0，
∴m+n=6，mn=4
∵由（1）可得（m-n）²=（m+n）²-4mn
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=6²-4×4=20，
∴（m-n）²=20；
（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n），
或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m²+3mn+n²，
故可得：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．
故答案为：（1）m-n；（2）①（m-n）²，②（m+n）²-4mn，③（m-n）²=（m+n）²-4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

点评 本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．