Question

如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是

 

cm．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：几何图形问题,压轴题

分析：根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．

解答：解：由翻折的性质得，DF=EF，
设EF=x，则AF=6-x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=

1

2

×6=3，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即3²+（6-x）²=x²，
解得x=

15

4

，
∴AF=6-

15

4

=

9

4

，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴

BE

AF

=

BG

AE

=

EG

EF

，
即

3

9 4

=

BG

3

=

EG

15 4

，
解得BG=4，EG=5，
∴△EBG的周长=3+4+5=12．
故答案为：12．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．