Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,切线的判定

专题：

分析：（1）两三角形中，AB=AC可得出∠B=∠C，三角形DEF是等边三角形可得出∠FDB=∠FEC=120°由此可证得两三角形相似．
（2）以M为圆心，以MF为半径的园与BC相切，那么过点M作MH⊥BC，则MH=MF，设BD=x，
可在三角形DEF中用BD来表示出DM，因为BD=DM=x，进而在直角三角形BMH中表示出MH，然后解直角三角函数即可求出x的值．

解答：（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°．
∴∠MDB=∠AEC=120°．
∴△BDM∽△CEN．


（2）解：过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MF为半径的园与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=∠B，
∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在RT△DMH中，sin∠MDH=sin60°=

MH

MD

=

4-x

x

=

3

2

，解得x=16-8

3

，
∴当BD=16-8

3

时，以M为圆心，以MF为半径的园与BC相切．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，切线的判定以及相似三角形的性质，解直角三角函数等知识点，运用好各特殊度数的角是解题的关键．