Question

7．归纳与猜想：
（1）计算：
          ①（x-1）（x+1）=x²-1；
          ②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
          ③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
          ①（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
          ②（x-1）（x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x¹⁰-1；
（3）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1（n为整数）；
（4）若（x-1）•m=x¹⁵-1，则m=x¹⁴+x¹³+x¹²+…+x²+x+1；
（5）根据猜想的规律，计算：2²⁶+2²⁵+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可；
（2）根据（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可；
（3）根据（1）（2）中的计算结果总结变换规律即可；
（4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；
（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得2²⁶+2²⁵+…+2+1的值．

解答 解：（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-1=x⁴-1；
（2）①（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
②（x-1）（x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x¹⁰-1；
（3）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1（n为整数）；
（4）∵（x-1）•m=x¹⁵-1，
∴m=x¹⁴+x¹³+x¹²+…+x²+x+1；
（5）∵（2-1）（2²⁶+2²⁵+2²⁴+…+2²+2+1）=2²⁷-1，
∴2²⁶+2²⁵+…+2+1=2²⁷-1．

点评 本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏．