Question

16．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，请结合图完成下列各题：
（1）填空：tan∠ABC=$\frac{3}{2}$；AB=$\sqrt{13}$（结果保留根号）．
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转对应的△A′B′C′，并求直线A′C′的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把∠ABC放到格点直角三角形中，利用正切的定义求它的正切值，然后利用勾股定理计算AB的长；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′点的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′，再利用待定系数法求直线A′C′的函数表达式．

解答 解：（1）tan∠ABC=$\frac{3}{2}$；AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
故答案为$\frac{3}{2}$，$\sqrt{13}$；
（2）如图，A′（1，-4），B′（3，-1），C′（2，-1），△A′B′C′为所作；

设直线A′C′的函数表达式为y=kx+b，
把A′（1，-4），C′（2，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
所以直线A′C′的函数表达式为y=3x-7．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了待定系数法求一次函数解析式．