题目内容

1．点O是等边三角形ABC内一点，OE⊥AB于E，OD⊥CB于D，OF⊥AC于F．求证：BD+CF+AE是定值．

分析 通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论是否正确．

解答 证明：设等边△ABC的边长为a，如图，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BD2+OD2=OB2=BE2+OE2①，
CF2+OF2=OC2=CD2+OD2②，
AE2+OE2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BD2+CF2+AE2=BE2+CD2+AF2，
∴BD2+CF2+AE2=（a-AE）2+（a-BD）2+（a-CF）2=a2-2AE•a+AE2+a2-2BD•a+BD2+a2-2CF•a+CF2
整理得：2a（AE+BD+CF）=3a2
∴BD+CF+AE=$\frac{3}{2}$a．
∴BD+CF+AE是定值．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．

练习册系列答案
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