Question

14．已知，点B、C是双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限分支上的两点，点A在x轴正半轴上，△AOB为等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x轴．
（1）求点C的坐标；
（2）点D为x轴上一点，当△BCD为等腰三角形时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BH⊥OA于点H，根据△AOB是等腰直角三角形得出BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．设B（a，a）（a＞0），由点B在双曲线y=$\frac{4}{x}$上求出a的值，故可得出B点坐标，进而可得出A点坐标，设C（4，y）．根据点C在双曲线上即可得出y的值；
（2）设D（x，0），用x表示出BC²，BD²，CD²的值，再分BC=BD，BC=CD或BD=CD三种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）过点B作BH⊥OA于点H，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠B=90°，
∴BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．
∵点B在第一象限，
∴设B（a，a）（a＞0）．
∵点B在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，
∴a²=4，
∴a=2或a=-2（不合题意，舍去），
∴B（2，2），
∴A（4，0）．
∵AC⊥x轴，
∴设C（4，y），
∵点C在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，
∴C（4，1）；

（2）∵设D（x，0），
∴BC²=5，BD²=x²-4x+8，CD²=x²-8x+17，
当△BCD是等腰直角三角形时，BC=BD，BC=CD或BD=CD．
当BC=BD，即BC²=BD²时，x²-4x+8=5，解得x=1或x=3，
∴D（1，0）或（3，0）；
当BC=CD，即BC²=CD²时，x²-8x+17=5，解得x=2或x=6，
当D（6，0）时，BC=CD=$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∴BC+CD=BD，不能构成三角形，
∴x=6不合题意，
∴D（2，0）；
当BD=CD，即BD²=CD²，x²-4x+8=x²-8x+17，解得x=$\frac{9}{4}$，
∴D（$\frac{9}{4}$，0）．
综上所述，D（1，0），（3，0），（2，0），（$\frac{9}{4}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．