Question

11．如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）求证：BD=CE；
（2）如图2，若BD的中点为P，CE的中点为Q，请判断△APQ的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC和△ADE都是等边三角形，得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE，进而判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD=CE；
（2）先根据P是BD中点，Q是CE中点，BD=CE，得出BP=CQ，再根据△ABD≌△ACE，得到∠ABP=∠ACQ，进而判定△ABP≌△ACQ（SAS），即可得到AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，再根据∠PAQ=∠BAC=60°，即可得到△APQ是等边三角形．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；

（2）△APQ是等边三角形．
理由：∵P是BD中点，Q是CE中点，BD=CE，
∴BP=CQ．
由（1）可得，△ABD≌△ACE，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP与△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAP+∠CAP=∠CAQ+∠CAP，
∴∠PAQ=∠BAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．