Question

1．如图，$\widehat{BC}$是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是$\widehat{BC}$上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}≤S≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}＜S≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤S≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜S＜\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案．

解答 解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO=AO=1，∠COA=45°，
∴CF=FO=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD=90°时DE最长为半径，
S_{四边形AODC}=S_△AOC+S_△COE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{{\sqrt{2}+2}}{4}$．
故选：B．

点评 此题主要考查了圆的综合，正确得出四边形的最大值是解题关键．