Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF=x，S_{四边形DEFG}=y．
（1）填空：自变量x的取值范围是0＜x＜12；
（2）求出y与x的函数表达式；
（3）请描述y随x的变化而变化的情况．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，进一步利用矩形的面积求的函数解析式；列表取值，描点画出图象；
（3）根据以上三种表示方式回答问题即可．

解答 解：（1）0＜x＜12；
故答案为：0＜x＜12；
（2）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，
∵AB=AC=10，BC=12，AN⊥BC，
∴BN=CN=6，AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=8，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
$\frac{AM}{AN}=\frac{EF}{BC}$，即$\frac{8-MN}{8}=\frac{x}{12}$，
∴MN=8-$\frac{2}{3}$x．
∴y=EF•MN=x（8-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+8x=-$\frac{2}{3}$（x-6）²+24；
（3）当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；
当x=6时，y的值达到最大值24，
当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．

点评 此题考查二次函数的运用，利用相似三角形的性质、矩形的面积求得函数解析式是解决问题的关键．