Question

12．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若四边形AFCE是菱形，AB=8，AD=4，求菱形AFCE的周长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB∥CD，AB=CD，∠B=90°，证出AF=CE，即可得出四边形AFCE是平行四边形．
（2）由菱形的性质得出AF=FC=CE=AE，BC=AD=4，设AF=CF=x，则BF=8-x，在Rt△BCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠B=90°，
∵DE=BF，
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC=CE=AE，BC=AD=4，
设AF=CF=x，则BF=8-x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴AF=FC=CE=AE=5，
∴菱形AFCE的周长=4×5=20．

点评 此题考查了菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．