Question

3．如图，在?ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=$\frac{4}{5}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×$\frac{4}{5}$=4，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AF}{5}=\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
解得：AF=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．