Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x₁=-4，x₂=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-$\frac{3}{2}$，0），得到PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}×16-4b+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）①如图，令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DM}{BN}$，
设D（a，-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a+2），
∴M（a，$\frac{1}{2}$a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，$\frac{5}{2}$），
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DM}{BN}$=$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-2a}{\frac{5}{2}}=-\frac{1}{5}$（a+2）²+$\frac{4}{5}$；
∴当a=-2时，$\frac{S_1}{S_2}$的最大值是$\frac{4}{5}$；
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0），
∴PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=$\frac{4}{3}$，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{RC}{DR}=\frac{1}{2}$，
令D（a，-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a+2），
∴DR=-a，RC=-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}{-a}=\frac{1}{2}$，
∴a₁=0（舍去），a₂=-2，
∴x_D=-2，
情况二，∴∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC=$\frac{4}{3}$，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC=$\frac{3k}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3$\sqrt{5}$k，
∴RC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，RG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k，
DR=3$\sqrt{5}$k-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k=$\frac{11\sqrt{5}}{5}$k，
∴$\frac{DR}{RC}$=$\frac{\frac{11\sqrt{5}}{5}k}{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{-a}{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}$，
∴a₁=0（舍去），a₂=-$\frac{29}{11}$，
点D的横坐标为-2或-$\frac{29}{11}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．